un génie dans la nature.

Il m’arrive parfois en expliquant des concepts ou des parties de cours en mathématiques de voir des visages hébétés ou de lire parfois des horreurs.
C’est pourquoi je vais remettre un peu les choses à plat calmement.
Avant toute chose, en maths contrairement à toute autre discipline on cherche une rigueur qui coupe court à toute interprétation. Les matheux fuient les discussions. C’est pourquoi même leurs mots sont rangés, triés, et écris après une mûre réflexion.
Il m’arrive d’entendre des : « mais c’est pareil un Lemme et un Théorème ». Ou alors « pourquoi il parle de conjecture si c’est un théorème ? » 

Il faut comprendre qu’un Lemme est un calcul pénible qui peut se réutiliser dans une autre théorie, mais avant toute chose çà sert immédiatement après dans la démonstration d’un Théorème. C’est, pour faire simple, une astuce technique longue, périlleuse à démontrer qu’on utilise dans une démonstration de théorème.

Alors qu’un Théorème ne peut s’utiliser que dans la partie des maths dans laquelle il est énoncé. On voit clairement qu’un théorème de probabilité n’a pas sa place dans une théorie d’analyse des fonctions holomorphes... De plus un théorème se compose de 2 parties distinctes (et NON miscibles!! même quand on agite très fort!!! et qu'on le retourne):
- les hypothèses
- Les conséquences des l’hypothèses dans la théorie.

Enfin, une conjecture est une propriété dans exercice que l’on pense vraie mais qui ne se démontre pas et qui en plus n’est pas généralisable.

Exemple
Lemme : (a+b)²=a²+2ab+b²
Démonstration il suffit de développer (a+b)(a+b) et de ranger les termes.
(oui je sais pas cela n’est pas technique du tout mais j’ai que çà sous la main !! )

Théorème si ABC forme un triangle rectangle d’hypoténuse C dans un plan orthonormé alors a²+b²=c².

Preuve : considérons le carré (ABCD) mettons un autre carré (EFGH) dans (ABCD) tel que les sommets de (EFGH) soient sur (ABCD) et les barycentres de (ABCD) et (EFGH) soient confondus. Posons c la longueur des cotés de (EFGH). On remarque que chaque coté de (ABCD) est coupé de manière identique en deux parties que l’on notera a et b. On voit alors que l’aire de (ABCD) =(a+b)²=aire (EFGH)+ 4* aire du triangle (EFA).
Par le lemme on a que (a+b)²=a²+b²+2ab
Aire de (EFGH)= c²
Aire de (EFA) = ab/2.
Donc en résumé on a :
a²+b²+2ab=c²+4ab/2
d’où a²+b²=c²
CQFD

Exemple de conjecture :
Si on définit Un n€N de la sorte : Un+1 = {Un/2 si Un est paire et 3Un+1 sinon } alors quelque soit U0, la suite Un est une suite bornée et convergente.
bon alors çà c'est impossible à démontrer, bien que çà paraisse très con comme çà.

On me demande souvent pourquoi la théorie de la mesure est pour moi la plus jolie théorie des mathématiques…
Il m’est impossible de répondre simplement. Seulement à la différence de Riemann, le cas d’une fonction intégrable est beaucoup plus intuitif et plus général, voire un peu plus facile pour un esprit tordu comme le mien. Comprenez par là que l’intégrale de Riemann ne fonctionne que sur des segments de R ou pavés de R^k, alors que pour la théorie générale de l’intégration on intègre implicitement sur tout l’espace mesurable puis si après on souhaite avoir un ‘segment de R’ on multiplie la fonction par une indicatrice.

Mais pourquoi intégrer sur tout un espace et après extraire une partie qui nous intéresse ?

Pour comprendre ceci il faut comprendre 2 choses essentielles :
Primo : on trouve des propriétés non pas sur tout un espace mais, et c’est plus fort encore, sur toute tribu composant l’espace. D’ailleurs un espace Ώ est dit mesurable si une tribu, le ‘parcourt’, le terme est impropre mais résume assez bien.
Secundo : Imaginez vous chez votre boulanger préféré, vous devez payer votre baguette de pain, pour cela que faites-vous sans même réfléchir ? vous prenez les pièces dans un ordre précis, par exemple pour payer 2.99€ vous sortez une pièce de 2 €puis après 50centimes, ensuite 2 pièces de 40 centimes, une de 5 centimes et 2 de 2 centimes (çà c’est l’integrale de Lebesgue) alors que Riemann lui ouvre son porte monnaie, et donne les pièces telles qu’elles sortent, sans logique apparente, ce qui peut prendre pas mal de temps pour le règlement de la baguette….

Mais ceci n’est pas tout. La théorie de l’intégration, permet de permuter beaucoup plus facilement les limites, intégrales.
La théorie est si riche et excitante que je vais, après avoir ré-expliquer un peu plus le langage mathématiques, tenter une vulgarisation… qui aux vues de ce petit texte risque d’être très long car il faut développer des notions : d’ensemble, de tribu, d’espace, de borélien, tribu engendrée etc… en y allant par étapes çà devrait être possible.