un génie dans la nature.

Voici une propriété qui m’a toujours plue en arithmétique et que je vais essayer de généraliser. Pas bien loin car je ne suis pas du genre violent dans cette discipline.

Quelque soit p un entier donné, on a p²≡0 [4] ou p²≡1 [4].

La propriété que voici s’utilise fréquemment, mais j’ai toujours un peu de mal à m’en souvenir, et quand elle me revient en tête c’est toujours avec un grand plaisir que je la partage. Je la trouve très simple et fort rigolote. (allez savoir pourquoi !)

Je vais expliquer un peu ce qu’est ce signe cabalistique : ≡. Il veut dire congrue a, c’est un peu le pendant du = en arithmétique. Je m’explique. Quand on pose une division avec des entiers (par exemple a/b), on a souvent un reste, ce qui permet d’écrire a=bq+r, avec des congruences çà se note très facilement a ≡ r [b]. Le r a des propriétés intéressantes notamment de se multiplier agréablement, de s’additionner, de ne pas supporter les divisions, de toujours être compris entre 0 et b-1,  et d’être cyclique (par exemple 1=1[2] ; 2 = 0[2] ; 3=1[2] ; 4=0 [2]) la liste est non exhaustive. Les cycles se notent rapidement Z/pZ mais ce n’est pas l’objet du billet.

Je propose la généralisation suivante :

Quelque soit p un entier donné, quelque soit k un entier naturel, on a p^2k≡0 [4] ou p^2k≡1 [4] et p^2k+1≡0 [4] ou p^2k+1≡p [4].

Preuve : (vous allez voir c’est juste un tour de passe-passe mathématiques)
1² ≡ 1 [4]
2² ≡ 0 [4] (ceci montre la première propriété puisque nous somme revenu à 0, noté *)

 Maintenant si on a une puissance paire supérieur à 2, il suffit de la décomposer comme produit de carré (c’est très courageux), ou plus simplement on peut dire que p^2k=(p^k)² et donc il suffit d’utiliser la propriété (*) avec p=p^k. On peut aussi le démontrer par récurrence sur k, avec comme hypothèse de départ : Si on a p^2k≡0 [4] ou p^2k≡1 [4] alors on a p^2k+2≡0 [4] ou p^2k+2≡1 [4].

On sait que p^2k+2 = p^2k p2. En utilisant l’hypothèse p^2k≡0 [4] ou p^2k≡1 [4] et la propriété (*), on obtient les possibilités de produit suivant : 1x1=1, 0x1=0, 1x0=0, 0x0=0.
Ceci montre que quelque soit p un entier donné, quelque soit k un entier naturel, on a p^2k≡0 [4] ou p^2k≡1 [4] (propriété noté **)

Pour démontrer la propriété sur les puissances impaires, il suffit juste de dire que p^2k+1=p*p^2k, or p^2k = 0 ou 1 donc p^2k+1=p ou 0 [4].

Cette propriété est, je pense, l’une des premières que l’on retient et utilise en arithmétique, ce qui peut expliquer qu’on l’oublie souvent…