un génie dans la nature.

Les matrices symétriques ont plein de propriétés fortes intéressantes en mathématiques appliquées. Souvent d’ailleurs en informatique on commence par en créer une…
Je me rappelle d’une astuce très très bête dont j’avais mis pas mal de temps a trouver lors de mes débuts dans les mathématiques…

Comment créer avec n’importe quelle matrice initiale une matrice symétrique ?

Après avoir tergiversé pendant au moins 10 minutes, j’ai trouvé ce moyen fort simple :
Soit M une matrice de dimension n x n appartenant à l’ensemble des matrices réelles.
Si on pose F=M+M^T, alors F est une matrice symétrique.
En effet quelques soit i,j inférieur à n, on a F_i,j= M_i,j + M_j,i, et F_j,i= M_j,i + M_i,j. or l’addition est commutative, donc on a le résultat escompté : F_i,j= F_j,i..
Ce qui prouve bien que la matrice engendrée est symétrique.

Ce résultat parait fort bête et pourtant il est souvent utilisé en mathématique matricielle.